الهندسة التفاضلية هي فرع من فروع الرياضيات المتقدمة التي ربما تحتوي على كتب مدرسية أكثر جودة من أي كتب أخرى. يحتوي على بعض الكلاسيكيات الحقيقية التي يتفق الجميع على وجوب تصفحها على الأقل. في الآونة الأخيرة ، يبدو أن الجميع وابن عمه يحاولون كتابة كتاب الهندسة التفاضلية الأمريكية العظمى. ليس من الصعب حقًا معرفة السبب: موضوع الهندسة التفاضلية ليس فقط أحد أجمل وأروع تطبيقات حساب التفاضل والتكامل والطوبولوجيا ، بل هو أيضًا أحد أقوى التطبيقات. الفيزياء الكلاسيكية والحديثة – لا يمكن التعبير عن النسبية العامة أو فيزياء الجسيمات بشكل صحيح بدون مفاهيم مخططات التنسيق على المشعبات القابلة للتفاضل أو مجموعات الكذب أو حزم الألياف. كنت أتطلع حقًا إلى النص النهائي بناءً على محاضرات كليف توبيس في الرياضيات 230 لدورة DG لطلاب السنة الأولى في جامعة هارفارد ، والتي قام بتدريسها مرارًا وتكرارًا لعدة سنوات. كتاب من قبل سيد معترف به للموضوع مرحب به ، حيث يمكن للمرء أن يأمل في تقديم وجهة نظر باحثه إلى المادة.
حسنًا ، الكتاب أخيرًا هنا وأنا آسف للإبلاغ عن خيبة أمله قليلاً. الموضوعات التي يتم تناولها في الكتاب هي المشتبه بهم المعتادون في دورة الدراسات العليا في السنة الأولى ، وإن كانت مغطاة على مستوى أعلى إلى حد ما من المعتاد: المتشعبات السلسة ، مجموعات الكذب ، حزم المتجهات ، المقاييس على حزم المتجهات ، المقاييس الريمانية ، الجيوديسيا على متشعبات ريمان ، المدير الحزم ، والمشتقات المتغايرة والوصلات ، والشمولية ، ومتعدد حدود الانحناء والفئات المميزة ، وموتّر الانحناء الريماني ، والمشعبات المعقدة ، وعديدات الطيات الجزئية هولومورفيك لمشعب معقد ومقاييس Kähler. على الجانب الإيجابي ، فهو مكتوب جيدًا جدًا ويغطي تقريبًا المشهد الحالي بالكامل للهندسة التفاضلية الحديثة. العرض التقديمي قائم بذاته قدر الإمكان ، نظرًا لأن الكتاب يحتوي على 298 صفحة ويتألف من 19 فصلاً بحجم اللقمة. . يقدم البروفيسور Taubes أدلة مفصلة وموجزة عن النتائج الأساسية ، مما يدل على سلطته في هذا الموضوع. لذلك يتم تغطية كمية هائلة بكفاءة عالية ولكن بشكل واضح تمامًا. يحتوي كل فصل على ببليوغرافيا مفصلة للقراءة الإضافية ، والتي تعد واحدة من أكثر جوانب الكتاب إثارة للاهتمام – يعلق المؤلف على الأعمال الأخرى وكيف أثرت على عرضه. من الواضح أنه يأمل أن يلهم طلابه قراءة الأعمال الأخرى الموصى بها بالتزامن مع أعماله ، مما يظهر قيمًا تعليمية ممتازة من جانب المؤلف. لسوء الحظ ، هذا النهج هو سيف ذو حدين لأنه يسير جنبًا إلى جنب مع أحد أخطاء الكتاب ، والتي سنصل إليها في الحال.
يكتب Taubes جيدًا حقًا وهو يتخلل عرضه التقديمي بأفكاره العديدة. أيضًا ، يحتوي على العديد من الأمثلة الجيدة والمختارة جيدًا في كل قسم ، وهو شيء أشعر أنه مهم جدًا. حتى أنه يغطي المواد المتعلقة بالمشعبات المعقدة ونظرية هودج ، والتي تتجنبها معظم كتب الخريجين المبتدئين بسبب التفاصيل الدقيقة التقنية لفصل الجوانب الهندسية التفاضلية الصارمة عن الجوانب الهندسية الجبرية. إذن ما يوجد هنا جيد جدًا حقًا. (من المثير للاهتمام أن Taubes ينسب الفضل إلى تأثيره في أن يكون الكتاب هو الدورة الأسطورية للراحل Rauol Bott في هارفارد. العديد من الكتب المدرسية وملاحظات المحاضرات الحديثة حول هذا الموضوع تُنسب إلى دورة Bott مع إلهامها: Loring Tu’s مقدمة في الفتحات، ملاحظات محاضرة كو هوندا في USCD ، لورانس كونلون فتحات مختلفة من بين أبرز. إنه لأمر متواضع للغاية كيف يمكن لمعلم خبير أن يحدد موضوعًا لجيل واحد.)
لسوء الحظ ، هناك ثلاث مشاكل في الكتاب تجعله محبطًا بعض الشيء وكلها لها علاقة بما يحدث ليس في هذا الكتاب. المشكلة الأولى والأكثر خطورة في كتاب Taubes هي أنه ليس كتابًا مدرسيًا على الإطلاق ، إنه مجموعة من ملاحظات المحاضرة. لديها صفر تمارين. في الواقع – يبدو الكتاب كما لو أن مطبعة جامعة أكسفورد أخذت للتو النسخة النهائية من ملاحظات Taubes على الإنترنت وصفعت غلافًا عليها. لا يعني ذلك بالضرورة أن ملف سيء الشيء ، بالطبع – بعض أفضل المصادر الموجودة في الهندسة التفاضلية (والرياضيات المتقدمة بشكل عام) هي ملاحظات المحاضرات (تتبادر إلى الذهن ملاحظات SSChern و John Milnors الكلاسيكية). ولكن بالنسبة إلى الدورات الدراسية وشيء تريد دفع أموال كبيرة مقابله – فأنت تريد حقًا أكثر قليلاً من مجرد مجموعة مطبوعة من ملاحظات المحاضرات التي كان يمكن لشخص ما تنزيلها من الويب مجانًا.
من الصعب أيضًا استخدامها ككتاب مدرسي لأنك تحتاج إلى البحث في مكان آخر عن التمارين. لا أعتقد أن مجموعة من التمارين المقابلة من المؤلف الذي صمم النص إن اختبار فهمك أمر مبالغ فيه حقًا في شيء تنفق عليه 30-40 دولارًا ، أليس كذلك؟ هل هذا هو الدافع الحقيقي وراء المراجع التفصيلية والمثيرة للرأي لكل فصل – لا يتم تشجيع الطلاب فقط على النظر إلى بعض هذه المراجع بشكل متزامن ، ولكن مطلوب من أجل العثور على تمارينهم الخاصة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فيجب أن يكون قد تم توضيحه على وجه التحديد ويظهر بعض الكسل من جانب المؤلف. عندما تكون مجموعة من ملاحظات المحاضرة مصممة لتأطير دورة فعلية حيث يوجد المعلم هناك لتوجيه الطلاب من خلال الأدب لمعرفة ما هو مفقود ، فهذا يعمل بشكل جيد. في الواقع ، قد يؤدي ذلك إلى دورة تدريبية أكثر إثارة وإنتاجية للطلاب. ولكن إذا كنت تكتب كتابًا مدرسيًا ، فعليك حقًا أن يكون محتويًا ذاتيًا تمامًا بحيث تكون أي مراجع أخرى تقترحها صارمة اختياري. تختلف كل دورة تدريبية ، وإذا كان الكتاب لا يحتوي على تمارين خاصة بها ، فإنها تحد بشكل كبير من مدى اعتماد الدورة على النص. أنا متأكد من أن Taubes لديه كل مجموعات المشكلات من الأقسام المختلفة للدورة التدريبية الأصلية – كنت سأفعل ذلك بقوة شجعه على تضمين مجموعة كبيرة منها في الطبعة الثانية.
المشكلة الثانية – على الرغم من أن هذا ليس خطيرًا مثل الأول – هو أنه من باحث في أوراق اعتماد Taubes ، فإنك تتوقع المزيد من الإبداع والبصيرة حول ما هو جيد من كل هذه الأشياء الجيدة. حسنًا ، هذا نص للمبتدئين ولا يمكنك الابتعاد كثيرًا عن قواعد اللعبة الأساسية أو سيكون عديم الفائدة كأساس للدراسات اللاحقة. ومع ذلك ، فإن الفصل الختامي الذي يلخص الوضع الحالي للعب في الهندسة التفاضلية باستخدام جميع الآلات التي تم تطويرها – لا سيما في مجال الفيزياء الرياضية – سيساعد كثيرًا في إعطاء المبتدئ لمحة مثيرة عن مقدمة التخصص. فرع الرياضيات البحتة والتطبيقية. إنه يستطرد أحيانًا إلى مادة أصلية لطيفة لا يتم التطرق إليها عادةً في مثل هذه الكتب: مقياس شوارزشايلد ، على سبيل المثال. لكنه لا يعطي أي إشارة إلى سبب أهميتها أو دورها في النسبية العامة.
أخيرًا – لا توجد صور تقريبًا في الكتاب. لا أحد. صفر. ندى. حسنًا ، تم منح هذا نصًا على مستوى الدراسات العليا ويجب على طلاب الدراسات العليا حقًا رسم صورهم الخاصة. لكن بالنسبة لي ، أحد الأشياء التي تجعل الهندسة التفاضلية رائعة للغاية هو أنها موضوع مرئي وعميق: يشعر المرء في دورة DG الكلاسيكية الجيدة أنه إذا كنت ذكيًا بدرجة كافية ، فيمكنك إثبات كل شيء تقريبًا باستخدام صورة . يؤدي تقديم عرض تقديمي رسمي وغير مرئي تمامًا إلى إزالة الكثير من الإثارة المفاهيمية ويجعلها تبدو أكثر جفافًا وأقل إثارة مما هي عليه بالفعل. في هذا الإصدار الثاني ، كنت أفكر في تضمين بعض العناصر المرئية. ليس عليك إضافة الكثير إذا كنت أصوليًا. لكن القليل منها ، لا سيما في الفصول الخاصة بالفئات المميزة وأقسام الحزم المتجهية والألياف ، من شأنه أن يوضح هذه الأجزاء بشكل كبير.
إذن الحكم النهائي؟ مصدر قوي للغاية يمكن من خلاله تعلم DG لأول مرة على مستوى الدراسات العليا ، ولكن يجب استكماله على نطاق واسع لسد أوجه القصور. لحسن الحظ ، يأتي كل فصل مع مجموعة جيدة جدًا من المراجع. يمكن بسهولة اختيار القراءة والتمارين التكميلية الجيدة من هذه. أود أن أوصي بشدة كلاسيكيات Guillemin و Pollack الطوبولوجيا التفاضلية كقراءة أولية ، “ثلاثية” لجون إم لي للقراءة والتمارين الجانبية ، النص الرائع الموجه بالفيزياء من مجلدين مجالات الهندسة والطوبولوجيا والمقاييس بواسطة Gregory Naber للاتصالات والتطبيقات في الفيزياء بالإضافة إلى العديد من الصور الجيدة والحسابات الملموسة. للحصول على عرض أعمق للهندسة التفاضلية المعقدة ، جرب النسخة الكلاسيكية من Wells والنص الأحدث الهندسة التفاضلية المعقدة بواسطة Zhang. مع كل هذه الأشياء لتكمل Taubes ، ستكون في حالة ممتازة لمدة عام كامل في الهندسة التفاضلية الحديثة.
